初中常考数学知识点:多项式的性质

时间:2024-02-25 11:45:39
初中常考数学知识点:关于多项式的性质

初中常考数学知识点:关于多项式的性质

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  多项式的加法

  有限个单项式之和称为多元多项式,简称多项式。不同类的单项式之和表示的多项式,其中系数不为零的单项式的最高次数,称为此多项式的次数。

  多项式的加法,是指多项式中同类项的系数相加,字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的.每个单项式相乘之后合并同类项。

  F上x1,x2,…,xn的多项式全体所成的集合F[x1,x2,…,xn],对于多项式的加法和乘法成为一个环,是具有单位元素的整环。 域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理。

  多项式的根

  给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An,我们把 f 中的 xj 都换成 aj,得出一个 A 中的元素,记作 f(a1...an)。如此, f 可看作一个由 An 到 A 的函数。

  若然 f(a1...an)=0,则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。

  例如 f=x^2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵,则 f 会无根、有两个根、及有无限个根!

  例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数,则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合,是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。

  另外,若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z,则Z的共轨复数也是根。

  若P(x)有n个重叠的根,则 P‘(x) 有n-1个重叠根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x),则有 a 是 P’(x)的重叠根且有n-1个。

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